Oscillatore armonico
Sono diversi i sistemi che danno origine ad un moto armonico. Uno di questi è il sistema molla-mossa, cioè una massa posta alla estremità di una molla messa in oscillazione. Ecco l’animazione dell’oscillatore armonico ideale (senza attrito) che converte, come vedremo più avanti, energia cinetica in potenziale e viceversa.
Ecco le formule che caratterizzano questo moto (si suppone che l’oscillazione avvenga lungo l’asse X):
a) Posizione:
$$x(t) = A \cos (\omega t + \phi)$$
in cui $\phi$ è detta fase iniziale, $T= 2 \pi / \omega$, $f=1/T$.
b) Velocità:
$$ v(t) = - \omega A \sin(\omega t + \phi)$$
c) Accelerazione:
$$ a(t) = - \omega^2 A \cos(\omega t + \phi) = - \omega^2 x(t) $$
Tutte le volte che un corpo si sposta soggetto ad una accelerazione come quella precedente, allora diremo che il suo moto è armonico con velocità e legge oraria identiche alle formule precedenti. Per esempio, nel caso della forza elastica, $F=-kx$ (legge di Hooke), applicata ad una massa $m$ avremo:
$$m a = - k x$$
cioè
$$ a = - \frac{k}{m} x$$
Ponendo $\omega^2 = k/m$ allora ci imbatteremo nelle equazioni del moto armonico. In particolare il periodo di tale moto è dato dalla:
$$T = \frac{2 \pi}{\omega} = \frac{2 \pi}{\sqrt{k/m}} = 2 \pi \sqrt{ \frac{m}{k} } $$
Il video seguente analizza una serie di fenomeni che conducono al moto armonico:
Segnalo anche questo video utile a chi sa che cosa sia una equazione differenziale e come risolverla. Il video è importante anche perché l’autore affronta il problema dal punto di vista di un fisico e si pone la solita domanda: perché la matematica è capace di descrivere l’evoluzione di fenomeni reali?
Energia meccanica dell’oscillatore armonico
Ad ogni posizione dell’oscillatore, ovvero ad ogni istante, corrisponde una energia potenziale, $E_p$, ed una energia cinetica $E_k$ date da:
$$E_p = \frac{1}{2} k x^2 = \frac{1}{2} k A^2\cos^2(\omega t + \phi)$$
$$E_k = \frac{1}{2} m v^2 = \frac{1}{2} m \omega^2 A^2 \sin^2(\omega t + \phi) = \frac{1}{2} m \frac{k}{m} A^2 \sin^2(\omega t + \phi)=\frac{1}{2} k A^2 \sin^2(\omega t + \phi)$$
L’energia totale meccanica risulta quindi data dalla:
$$E = \frac{1}{2} k A^2 \cos^2(\omega t + \phi) + \frac{1}{2} k A^2 \sin^2(\omega t + \phi)= \frac{1}{2} k A^2$$
cioè essa è costante (non dipende dal tempo o dalla posizione). Questo risultato non deve sorprenderci in quanto la forza elastica è una forza conservativa.
