Lavoro ed energia

Nel video seguente definiremo la grandezza fisica lavoro (work in inglese). Si inizia con il semplice caso di forza costante lungo un tratto rettilineo:

$$ W_{AB}(\vec F) = \vec F \cdot \Delta \vec r $$

per passare al caso generale di forza arbitraria e percorso curvilineo $\gamma$ anch’esso arbitrario:

$$ W_{AB}(\vec F) = \int_\gamma \vec F \cdot d \vec r $$

e arrivare, infine, alla circuitazione, cioè al caso in cui il percorso sia chiuso

$$ W_{AB}(\vec F) = \oint_\gamma \vec F \cdot d \vec r $$

Il video successivo introduce il teorema dell’energia cinetica. Esso dichiara la validità della seguente relazione per qualsiasi tipo di forze

$$ W_{AB}(\vec F) = \frac{1}{2} m v_B^2 - \frac{1}{2} m v_A^2 $$

in cui la quantità $ E_k = m v^2 / 2 $ è nota come energia cinetica.

Se le forze agenti sul punto materiale dipendono dalla posizione e verificano la seguente relazione per qualsiasi curva $\gamma$

$$ W_{AB}(\vec F) = \oint_\gamma \vec F \cdot d \vec r = 0$$

allora si può scrivere anche la seguente relazione

$$ W_{AB}(\vec F) = E_{pA} - E_{pB} $$

in cui la quantità $ E_p $ è nota come energia potenziale e la sua espressione dipende dal tipo di forza considerata. Ecco un piccolo promemoria ($\vec K=(K_x,K_y,K_z)$ è un vettore costante, e $k$ è una costante numerica):

Per le forze conservative i precedenti risultati possono essere combinati per ottenere il teorema di conservazione dell’energia meccanica totale. Si può scriverlo in diverse forme equivalenti:

$$ E_{kB} - E_{kA} = E_{pA} - E_{pB} $$

$$ E_{kB} + E_{pB} = E_{kA} + E_{pA} $$

$$ E_k + E_p = costante $$

Il risultato precedente, $ W_{AB}(\vec F) = E_{pA} - E_{pB} $, sottende una precisa relazione tra la forza e la sua energia potenziale. In particolare abbiamo la seguente relazione fondamentale

$$ \vec F_{media} = - \frac{\Delta E_p}{\Delta r_{AB}} $$

ovvero

$$ \vec F = - \frac{d E_p}{d r} $$