Cifre significative
Si definiscono cifre significative le cifre di cui si è certi durante la misurazione di una grandezza fisica. Esse dipendono dalla sensibilità dello strumento di misura utilizzato. Nel contare le cifre significative non si contano gli zeri iniziali e le potenze di 10.
$3.72$ ha 3 cifre significative
$0.054$ ha 2 cifre significative (non si contano gli zeri iniziali)
$6.3400$ ha 5 cifre significative (si contano gli zeri finali)
$2.04 \times 10^3$ ha 3 cifre significative (non si contano le potenze di 10)
A differenza di quanto accade in matematica, misure come 23.0 cm e 23 cm non sono identiche. Infatti lo zero finale contribuisce ad aumentare il numero di cifre significative. In particolare, la misura 23.0 cm ci informa che abbiamo usato uno strumento con sensibilità capace di misure i millimetri (nella fattispecie valevano proprio 0). Invece, la misura 23 cm ci informa che non abbiamo alcuna possibilità di stabilire quanti siano i millimetri (e non che valgono 0).
Quando si esprime una misura in un formato che usa multipli o sottomultipli di una data unità di misura occorre conservare lo stesso numero di cifre significative! Sarebbe un errore grave riscrivere una misura come segue
1 km = 1000 m
Invece è corretta $1 km = 1 \times 10^3 m$.
Di seguito un breve video per rinforzare quanto detto finora (Il video è tratto dal canale youtube del Prof. Carlo Incarbone. Sul suo sito si trovano due monumentali corsi di matematica e fisica per scuole superiori che senz’altro raccomando per la loro chiarezza.)
Operazioni e Cifre Significative
Quoziente e prodotto Il risultato deve avere lo stesso numero di cifre significative del termine con meno cifre significative
$7.72 : 1.7 = 4.5 $ e non 4.5411…
Addizioni e sottrazioni Il risultato dell’operazione deve avere lo stesso numero di cifre decimali del numero che ne ha di meno.
$6.54 + 3.1 = 9.6$ e non 9.64 (il risultato avrà una cifra decimale)
Arrotondamenti di Cifre significative
A seguito di alcuni calcoli eseguiti, per riscrivere il risultato nel previsto numero di cifre significative, occorre rinunciare a delle cifre decimali. Si pone dunque il problema dell’arrotondamento del numero, cioè occorre scegliere un numero approssimato che meglio rappresenti il risultato iniziale.
Per esempio, se dovessimo scrivere 35.69 con 3 cifre significative, dovremmo rinunciare al 9 finale. Tuttavia il numero di partenza è molto vicino a 35.70, per cui scrivere 35.6 invece di 35.7 sarebbe una severa ed ingiustificata approssimazione.
Per lo stesso motivo, partendo da 35.61 e dovendo rinunciare ad una cifra significativa, la scrittura 35.6 è migliore di 35.7.
In definitiva, adotteremo il seguente criterio: quando si rinuncia a delle cifre che iniziano con 5 approssimeremo per eccesso, altrimenti approssimeremo per difetto.
La notazione scientifica
In fisica quando si ha a che fare con numeri molto grandi o molto piccoli si usa la ‘’notazione scientifica’’. Quest’ultima si esprime attraverso il prodotto tra un numero maggiore o uguale a 1 e minore di 10 ed una potenza del 10. Quindi ogni numero si mette sotto la forma $ a × 10^n $ con $ 1≤a<10 $. Per esempio 0.0000000030 si scrive $ 3.0 \times 10^{-9} $.
Per moltiplicare due numeri espressi in notazione scientifica bisogna moltiplicare tra loro i numeri, le potenze e le unità di misura.
$$ (6.2 \times 10^4 m) (1.5 \times 10^3 m) = 9.3 \times 10^7 m^2 $$
Vale lo stesso procedimento per le divisioni.
$$\frac{6 × 10^7 m } {1.5 × 10^5 m} = (\frac{6} {1.5}) × (\frac{10^7} {10^5}) × (\frac{m} {m}) = 4 × 10^2$$
Per le somme algebriche, se le potenze di 10 sono uguali si mette in evidenza la potenza $$ 6 × 10^3 m + 3 × 10^3 m = 9 × 10^3 m $$
Se le potenze non sono uguali, bisogna trasformare una delle due grandezze in modo che le potenze siano identiche $$ 3 \times 10^3 m + 5.0 \times 10^4 m = 3 \times 10^3 m + 50 \times 10^3 m = 53 × 10^3 m = 5.3 \times 10^4 m $$
