Distribuzione delle velocità molecalari
Le velocità delle molecole in un gas, in virtù degli urti casuali con le pareti e tra le stesse molecole, possono essere descritte da una legge di natura statistica ((Una legge di natura statistica descrive il comportamento collettivo di un numero grandissimo di entità (per esempio molecole), soggette ad alcune interazioni (per esempio urti) che avvengono in modo del tutto casuale)) scoperta prima da Maxwell e poi da ripresa da Boltzmann. Al variare del tempo, attraverso urti, le molecole possono variare velocità, ma la frazione di esse che continua ad avere una velocità compresa in un determinato intervallo rimane la stessa. L’espressione della distribuzione di Maxwell-Boltzmann, MB, è la seguente:
$$f(v) = 4 \pi \left( \frac{m}{2 \pi K_B T}\right)^{3/2} v^2 e^{- m v^2 /(2 K_B T)} $$
Il significato della $f(v)$ risiede proprio nella scrittura del prodotto $f(v)dv$, e non nella sola $f(v)$. Infatti, $f(v)dv$ è la probabilità di trovare una particella con velocità compresa tra $v$ e $v+dv$. Il video seguente ci ricorda le caratteristiche di questa funzione di distribuzione:
Quest’altro video commenta i fattori presenti nella distribuzione di MB e cita alcuni metodi sperimentali usati per verificare la validità della distribuzione di MD.
Esercizio Nell’espressione della legge di Maxwell-Boltzmann poni $x^2=m v^2 /(2 K_B T)$ e ricava la distribuzione $F(x)dx$. La nuova $F(x)$ non dipende più da $T$ ed $m$ ed assume l’aspetto di una funzione universale. Esegui il grafico della nuova funzione.
Il video seguente mostra come impostare i calcoli per trovare la velocità più probabile, la velocità media, e la velocità quadratica media.
La distribuzione di MB è tipica dei sistemi all’equilibrio ad una data temperatura $T$. Cioè, se il sistema non è in equilibrio non possiamo attenderci di trovare le velocità molecolari come descritte sopra. Il sistema si avvicina all’equilibrio attraverso urti tra molecole e la conseguente distribuzione delle energie. La simulazione seguente mostra questo aspetto peculiare, cioè gli urti e la conseguente variazione delle velocità, producono la distribuzione di MB… cioè, senza urti tra molecole non si ottiene la distribuzione di MB.
