La legge di gravitazione universale

La forza di gravitazione universale è la prima forza fondamentale che incontreremo. Newton ci è arrivato grazie a Keplero che a sua volta aveva avuto un sistema planetario da analizzare. Ma pensateci un attimo: come sarebbe andata se la terra fosse stato l’unico pianeta ad orbitare attorno al sole? La domanda è suggestiva e la risposta non è affatto semplice. Il seguente affascinante video del PSSC mostra come avremmo potuto arrivarci.

Avete visto come nel video precedente tante risposte sono arrivate grazie all’analisi dei satelliti messi in orbita da quel pianeta. Una domanda però sorge spontanea: sarebbero riusciti a mandare in orbita un satellite senza prima conoscere la legge di gravitazione universale?

Ecco invece un video che presenta tale forza con una formalizzazione matematica più moderna.

Energia potenziale gravitazionale

Si può dimostrare che la forza gravitazionale è una forza conservativa. Per essa esiste quindi la funzione energia potenziale.

$$E_p= - G \frac{mM}{r}$$

Si può dimostrare che se $M$ è la massa della terra e $m$ un oggetto nei pressi della sua superficie, allora una buona approssimazione dell’energia potenziale è

$$E_p \approx mgh $$

in cui $h$ è la distanza dell’oggetto dalla superficie terrestre e $g=GM/R^2=9.8 m/s^2$, con $R$ raggio terrestre. Infatti, poniamo $r=R+h$ con $h$ molto più piccolo di $R$ si ha

$$ E_p = - G \frac{mM}{R+h} = - G \frac{mM}{R(1+h/R)}$$

poiché $(1+h/R)^{-1} \approx 1 - h/R$, allora avremo

$$ E_p \approx - G \frac{mM}{R} + G \frac{mM}{R} \frac{h}{R}$$

e trascurando il termine costante (hanno significato fisico solo le differenze di energia potenziale), otteniamo

$$ E_p \approx m \frac{GM}{R^2} h = mgh $$

Non dimenticare che si tratta di una approssimazione e non sempre la puoi usare!

Conservazione energia meccanica

Per la forza gravitazionale vale il principio di conservazione dell’energia meccanica totale. Ecco una serie di semplici esercizi in cui si fa uso di questo principio.