Forza di Lorentz

La forza di Lorentz è la forza agente su una carica puntiforme $q$ in moto con velocità $\vec{v}$ all’interno di un campo magnetico $\vec{B}$. Essa ha la seguente espressione:

$$\vec{F} = q\vec{v} \wedge \vec{B}$$

(Sui libri si trova anche il simbolo $\times$ al posto del simbolo $\wedge$, useremo il secondo che non rischia di confendersi con la cordinata $x$ in alcuni problemi). Essendo un prodotto vettoriale il modulo della forza si trova con la formula:

$$F = |qvBsinα|$$

dove α è l’angolo formato dal vettore velocità e dal campo magnetico. La direzione della forza di Lorentz risulta essere perpendicolare al piano su cui giacciono i vettori velocità $\vec v$ e campo magnetico $\vec B$. Per definire il suo verso si può utilizzare la regola mnemonica della mano destra oppure il seguente

La forza di Lorentz, agendo sempre perpendicolarmente al vettore velocità, darà luogo a lavoro nullo, cioè l’energia cinetica della carica rimane sempre la stessa. Il video seguente mostra come derivare la forza di Lorentz a partire da quella di Ampere

Abbiamo visto che la forza di Lorentz dipende dall’angolo tra i vettori velocità e campo magnetico. Si hanno i seguenti tre casi:

Velocità perpendicolare al campo magnetico In questo caso $\vec v = \vec v_\perp$. La forza, agendo perpendicolarmente a $\vec v_\perp$, dà luogo ad una azione centripeta e quindi ad un moto circolare uniforme. Quindi possiamo scrivere

$$ m \vec a = m \vec a_\perp = m \vec \omega \wedge \vec v_\perp = q \vec v_\perp \wedge \vec B $$

Dall’ultima uguaglianza, ricordando che il prodotto vettoriale è anticommutativo, abbiamo:

$$ m \vec \omega \wedge \vec v_\perp = - q \vec B \wedge \vec v_\perp$$

da cui, semplificando la velocità:

$$ \vec \omega = - \frac q m \vec B $$

La precedente relazione ci dice che il vettore velocità angolare, $\vec \omega$, per cariche positive è opposto a $\vec B$; per cariche negative, invece, $\vec \omega$ e $\vec B$ sono paralleli. Quindi, grazie alla precedente relazione, abbiamo un criterio per stabilire il segno della carica dati la sua traiettoria (da cui si evince la direzione di $\vec \omega$) e la direzione del campo magnetico.

Il periodo del moto circolare uniforme è dato da:

$$T = \frac {2 \pi}{\omega}$$

La relazione tra la velocità ed il raggio della circoferenza è data dalla:

$$r = \frac v \omega = \frac {mv}{qB}$$

Velocità parallela al campo magnetico In questo caso $\vec v = \vec v_\parallel$. La forza di Lorentz ora risulta essere nulla. Per cui la carica prosegue di moto rettilineo uniforme lungo la direzione delle linee del campo. Quanto detto è riassunto in questo video

Velocità in direzione arbitraria rispetto al campo magnetico In questa nuova situazione sia $\alpha$ il generico angolo formato dal vettore velocità col vettore campo magnetico. Possiamo immaginare di scomporre $\vec v$ nelle direzioni perpendicolare e parallelo al campo magnetico, cioè possiamo scrivere:

$$\vec v = \vec v_\perp + \vec v_\parallel$$

dove le componenti della velocità nelle direzioni perpendicolaare e parallelo valgono rispettivamente: $v_\perp= v \sin \alpha$, e $v_\parallel= v \cos \alpha$. La forza di Lorentz diventa quindi:

$$ m \vec a = q ( \vec v_\perp + \vec v_\parallel) \wedge \vec B=q \vec v_\perp \wedge \vec B $$

Pertanto, proiettando i precedenti vettori su assi coordinati diretti rispettivamente lungo $\vec B$ ed una sua direzione perpendicolare, avremo le seguenti equazioni per le componenti:

$$\left( \begin{matrix} m a_\perp \cr m a_\parallel \end{matrix} \right ) = \left( \begin{matrix} q v_\perp B \sin 90° \cr q v_\parallel \sin 0° \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} q v_\perp B \cr 0 \end{matrix} \right) $$

Le precedenti equazioni rappresentano due moti indipendenti: a) il primo è un moto circolare uniforme in un piano perpendicolare alle linee del campo magnetico; b) moto rellineo uniforme lungo la linea del campo magnetico.

La composizione di questi moti dà vita ad un moto elicoidale. Il passo dell’elica, $p$, è la distanza percorsa dalla carica lungo la linea del campo nel tempo $T = 2 \pi /\omega$. Esso vale

$$p = v_\parallel T$$

Il seguente video ripercorre quanto detto e mostra un’animazione