Vettori
I vettori sono enti matematici usati per rappresentare le grandezze fisiche vettoriali. La loro padronanza è essenziale in tanti fenomeni di fisica.
Il primo video è una introduzione ai vettori e definisce l’operazione di somma, nota anche come regola del parallelogramma:
Il secondo video riguarda la moltiplicazione tra scalari e vettori, differenza tra vettori, scomposizione di vettori, vettori $\vec i$ e $\vec j$:
Il terzo video è il più impegnativo e riguarda il prodotto scalare ed il prodotto vettoriale:
Il quarto video contiene una esercitazione su quanto spiegato in precedenza:
Riepilogo delle definizioni e formule
Un vettore è rappresentato da una coppia ordinata di numeri reali $(v_x, v_y)$. Disegnando una freccia che parte nell’origine $(0, 0)$ e arriva in $(v_x, v_y)$, si ottiene la ‘’rappresentazione geometrica’’ del vettore $(v_x, v_y)$. Nello spazio tridimensionale un vettore è una terna ordinata di numeri reali $(v_x, v_y, v_z)$. Indicheremo il vettore disponendo i numeri reali $v_x$ ed $v_y$ in colonna:
$$\vec v = \left( \begin{matrix} v_x \cr v_y \end{matrix}\right)$$
Somma di due vettori
In due dimensioni i vettori possono essere sommati con la seguente regola
$$\vec v + \vec w = \left( \begin{matrix} v_x \cr v_y \end{matrix} \right)+ \left( \begin{matrix} w_x \cr w_y \end{matrix} \right)= \left( \begin{matrix} v_x+w_x \cr v_y+w_y \end{matrix} \right) $$
La somma è associativa e commutativa e possiede l’elemento neutro che è il vettore nullo; inoltre ogni elemento ha un elemento opposto.
Prodotto di uno scalare per un vettore
Il prodotto di uno scalare $a$ per un vettore $\vec v$ è definito nel modo seguente:
$$a \vec v = a \left( \begin{matrix} v_x \cr v_y \end{matrix} \right)= \left (\begin{matrix} a v_x \cr a v_y \end{matrix} \right) $$
Il prodotto è associativo e gode della proprietà distributiva rispetto alla somma.
Vettori particolari
$$ \vec o = \left( \begin{matrix} 0 \cr 0 \end{matrix} \right), \vec i = \left( \begin{matrix} 1 \cr 0 \end{matrix} \right), \vec j = \left (\begin{matrix} 0 \cr 1 \end{matrix} \right) $$
Prodotto scalare di due vettori
Il prodotto scalare di due vettori $\vec v$ e $\vec w$ è il numero reale:
$$ {\vec v} \cdot {\vec w} =v w \cos \theta$$
$$ {\vec v} \cdot {\vec w} =v_x w_x+v_y w_y$$
$$ {\vec v} \cdot {\vec v} =v_x^2 +v_y^2$$
Non dipende dal sistema di coordinate scelto.
Modulo o lunghezza di un vettore
Si tratta del numero reale non negativo:
$$v = | {\vec v}| =\sqrt{v_x^2+v_y^2}$$
Versori
Un versore è un vettore di lunghezza pari ad 1. I vettori ${\vec i}$ e ${\vec j}$ sono versori.
$${\vec v} = x {\vec i} + y {\vec j} $$
Si può ottenere un versore a partire un vettore $\vec v$ attraverso la seguente relazione : $$ {\vec e}= \frac {\vec v} { v} $$
Prodotto vettoriale di due vettori
Il prodotto vettoriale è un’operazione definita tra due vettori $\vec v$ e $\vec u$ che restituisce un terzo vettore $\vec w $ che ha la direzione della retta perpendicolare al piano individuato da $\vec v$ e $\vec u$, e il suo modulo è dato dalla formula:
$$w = |\vec{v}\wedge\vec{u}| = |v u \sin\theta|$$
dove $\theta$ è l’angolo fra $\vec v$ e $\vec u$. Il modulo coincide con l’area del parallelogramma determinato dai due vettori.
Il verso del vettore $\vec w$ è dato dalla regola della mano destra: disponendo pollice, indice e medio perpendicolari tra loro, se il pollice indica la direzione di $\vec v$ e l’indice la direzione di $\vec u$, allora il medio indica la direzione di $\vec w$. Oppure osserva questo video per una spiegazione alternativa
Le componenti del risultato del prodotto vettoriale sono:
$${\vec v} \wedge {\vec u} = ({v}_y{u}_z-{v}_z{u}_y) {\vec i} + ({v}_z{u}_x - {v}_x{u}_z) {\vec j} + ({v}_x{u}_y-{v}_y{u}_x) {\vec k} $$
Il prodotto vettoriale è nullo se almeno uno dei due vettori è il vettore nullo, oppure se i vettori sono tra loro paralleli. Inoltre il prodotto vettoriale è anticommutativo:
$$\vec{u} \wedge \vec{v} = - \vec{v} \wedge \vec{u}$$
La regola del parallelogramma
La regola per la somma di vettori abbiamo visto coincide con la regola del parallelogramma. In realtà non ho offerto una dimostrazione rigorosa, ma mi sono limitato ad una (rozza) verifica grafica. Per dimostrare che la somma $\vec v + \vec u$ è davvero la diagonale di un parallelogramma, ci occorre una formula scoperta da Apollonio di Perga, e che vale per ogni parallelogramma: la somma dei quadrati delle due diagonali è pari alla somma dei quadrati dei quattro lati. Tradotto in formule: se $d_1$ e $d_2$ sono le diagonali, e $v$ ed $u$ sono i lati del parallelogramma, allora si ha:
$$d_1^2 + d_2^2 = 2 v^2 + 2 u^2$$
Se $\vec v$ ed $\vec u$ sono vettori, allora, $d_1^2 = |\vec v + \vec u|^2$, e $d_2^2 = |\vec v - \vec u|^2$. Quindi, occorre verificare che vale la:
$$|\vec v + \vec u|^2 + |\vec v - \vec u|^2 = 2 v^2 + 2 u^2$$
Provalo come esercizio.
Sitografia
Qui trovi una applet con Geogebra che mostra graficamente il precedente teorema http://www.cut-the-knot.org/Curriculum/Geometry/ParallelogramIdentity.shtml
Wikipedia, nella versione inglese, dà una derivazione della precedente formula che fa uso del teorema del coseno https://en.wikipedia.org/wiki/Parallelogram_law
Esiste una legge analoga per i poligoni? Sul sito http://frink.machighway.com/~dynamicm/parm-law-hexagon1.html si discute del problema
Qui invece trovi un teorema che generalizza la legge del parallelogramma ad un poligono di $n$ lati in un iperspazio! http://frink.machighway.com/~dynamicm/generalization-Apollonius-parallelogram-law.pdf
Infine un articolo in cui ci viene ricordato quando la legge del parallelogramma apparve in fisica: http://www.piergiorgioodifreddi.it/wp-content/uploads/2011/10/ODIFREDDI-agosto.pdf
